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Figures élémentaires de géométrie : les triangles

I- Généralités

Définition : On appelle triangle toute figure composée de trois sommets et trois côtés;
(Chaque sommet est le point de départ de deux segments)

Triangles particuliers

Définitions :
On appelle triangle rectangle tout triangle ayant un angle droit.

On appelle triangle isocèle tout triangle ayant deux côtés de même longueur.
Le sommet commun à ces deux segments s'appelle le sommet principal du triangle.

On appelle triangle équilatéral tout triangle dont les trois côtés ont la même longueur.

Triangle rectangle en B
Triangle isocèle en A
Triangle équilatéral

Propriété : Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est toujours égale à 180°.

Démonstration : voir le chapitre sur les angles

II- Droites remarquables des triangles

1°- Médiatrice
Définition : On appelle médiatrice d'un segment la droite qui passe par le milieu du segment et qui est perpendiculaire à ce segment.


Propriétés :		 Tous les points de la médiatrice d'un segment sont équidistants des extrémités de ce segment.


Tous les points équidistants des extrémités d'un segment appartiennent à la médiatrice de ce segment.


On dit que la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.
Dans la figure ci-contre, ABM est un triangle isocèle en M.
On a : MA = MB

Propriété :
Les trois médiatrices d'un segment sont concourantes en un point appelé centre du cercle circonscrit au triangle.


2- Médiane
Définition : On appelle médiane issue de A du triangle ABC la doite qui passe par A et par le milieu du segment [BC].

Propriété :

Les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité (ou isobarycentre) du triangle.

3- Hauteur
Définition : On appelle hauteur issue de A du triangle ABC la droite qui passe par A et qui est perpendiculaire à la droite (BC).

Propriété :

Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes en un point appelé orthocentre du triangle.

4- Bissectrice
Définition : On appelle bissectrice d'un angle la droite qui partage cet angle en deux angles de même mesure.

Propriété :

Les trois bissectrices (intérieures) d'un triangle sont concourantes en un point appelé centre du cercle inscrit dans le triangle.


III- Propriétés dans les triangles particuliers

1- Triangle isocèle
Propriété :

Dans un triangle isocèle, la médiatrice, la hauteur, la médiane et la bissectrice issues du sommet principal sont confondues.

2- Triangle équilatéral
Propriété :

Dans un triangle équilatéral, les médiatrices, les hauteurs, les médianes et les bissectrices sont confondues.