Théorème :
On considère : deux droites d et d' sécantes en A ;
deux points B et M de d distincts de A :
deux points C et N de d' distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors on a :
Le théorème de Thalès
I- Le théorème de Thalès
1- Enoncé
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Théorème : |
On considère : deux droites d et d' sécantes en A ; deux points B et M de d distincts de A : deux points C et N de d' distincts de A. Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors on a : |
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Autrement dit : avec les hypothèses précédemment citées, le tableau suivant est un tableau de proportionnalité !
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Côtés portés par la droite d |
Côtés portés par la droite d' |
Côtés portés par les droites parallèles |
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AM |
AN |
MN |
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AB |
AC |
BC |
2- Utilisations
Le théorème de Thalès permet de calculer une longueur lorsqu'on en connaît trois autres.
Le théorème de Thalès permet de démontrer que deux droites ne sont pas parallèles.
(voir exercice 3)
3-
Exercice résolu
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Exercice 1 On considère la figure suivante dans laquelle(ST) et (UV) sont parallèles. Les longueurs sont en cm. Calculer KV et ST. Solution : Les points K, T, V d'une part et K, S, U d'autre part sont alignés. Les droites (ST) et (UV) étant parallèles, d'après le théorème de Thalès on a : |
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Calcul de KV
KV mesure 5,4 cm |
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Calcul de ST
ST mesure 3,5 cm. |
II- Réciproque du théorème de Thalès
1- Enoncé
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Théorème : |
On considère : deux droites d et d' sécantes en A ; deux points B et M de d distincts de A : deux points C et N de d' distincts de A. Les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre. |
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Si |
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alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles. |
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Remarques : |
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L'égalité de deux fractions sur les trois suffit à démontrer que deux droites sont parallèles ! |
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Pour appliquer la réciproque du théorème de Thalès, la condition «les points A, B, M et A, C, N sont alignés dans le même ordre » est indispensable ! |
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2- Utilisation
La réciproque du théorème de Thalès sert à démontrer que deux droites sont parallèles lorsque l'on connaît la longueur de 4 segments particuliers.
3- Exercices résolus
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Exercice 2 On considère la figure ci-contre dans laquelle les mesures sont données en cm. Les droites (OL) et (UP) sont-elles parallèles ? Solution : Les droites (OP) et (UL) sont sécantes en I. Les points O, I, P d'une part et L, I, U d'autre part sont alignés dans le même ordre. |
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Donc |
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D'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (OP) et (UL) sont parallèles. |
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Exercice 3 On considère la figure ci-contre dans laquelle les mesures sont données en cm. Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ? Solution : Les droites (CD) et (CE) sont sécantes en C. Les points C, B, D d'une part et C, A, E d'autre part sont alignés dans le même ordre. |
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Donc |
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D'après le théorème de Thalès, les droites (AB) et (DE) ne sont pas parallèles |
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