LA PROPORTIONNALITE

I- DEFINITION

Pour représenter ces deux séries de nombres, on utilise très souvent un tableau.

Exemples :

a)		Coefficient de proportionnalité : 4 ou 0,25
b)		Coefficient de proportionnalité : 5 ou 0,2
c)	Dans une station service, le prix à payer est proportionnel au volume de carburant distribué. Prix de l'essence : 1,34 € /L
d)	Dans un supermarché, le prix des fruits et légumes est proportionnel à leur masse. Prix des patates : 0,95 € /kg
e)	Le carburant pour un motoculteur est un mélange de super et d’huile où les doses d’huile et d’essence sont proportionnelles : il faut 2 doses d’huile pour 3 doses de super. Déterminer le coefficient de proportionnalité qui permet d’obtenir la dose de super en fonction de la dose d’huile. Le nombre k vérifie : donc  Le coefficient de proportionnalité qui permet d'obtenir la dose de super en fonction de la dose d'huile est 1,5.

II- RECHERCHE D’UNE QUATRIEME PROPORTIONNELLE

Dans une situation de proportionnalité, la quatrième proportionnelle est le quatrième nombre calculé à partir de trois autres nombres déjà connus.

Pour calculer cette quatrième proportionnelle, on peut utiliser l'une des cinq méthodes suivantes.

Selon les exercices, une méthode sera plus simple que les autre. Il est donc nécessaire de connaître toutes les méthodes.

Les calculs doivent apparaître clairement lors de la rédaction de la réponse.

1- Coefficient de proportionnalité

On recherche le coefficient de proportionnalité du tableau et ensuite on le complète ( calculs sur les lignes ).

Exemple :

coefficient de proportionnalité : 5

2- Retour à l'unité

On recherche la valeur correspondant à la valeur 1 (« retour à l'unité »)

Exemples :

a)
b)	Dans un supermarché, 21 kg de tomates coûtent 23,10 €. Combien coûtent 35 kg de ces tomates ? 21 kg coûtent 23,10 € donc 1 kg coûte  donc 35 kg coûtent  35 kg de ces tomates coûtent 38,50 €.

a)
b)		Les kg s'additionnent, donc les € s'additionnent !

Règle : en multipliant (ou en divisant) par un même nombre une colonne, on obtient une nouvelle colonne du tableau.

Attention : on ne peut pas multiplier entre-elles deux colonnes !

5- Produit en croix

a)

« On multiplie la diagonale et on divise par le 3ième » On utilise la méthode du produit en croix.

Remarque : une proportion est une égalité de deux quotients. Dire que l’on a un tableau de proportionnalité, c’est dire que l’on a l’égalité des fractions formées par les lignes du tableau.

Exemple

Le tableau suivant est un tableau de proportionnalité.

Ce tableau équivaut à dire que les fractions  sont égales ou que les fractions  sont égales.

III- QUELQUES SITUATIONS DE PROPORTIONNALITE

1- Pourcentages

Un pourcentage est une proportion donnée par rapport à une quantité de 100 éléments : c'est donc bien évidemment une situation de proportionnalité.

Exemple 1

Dans un collège, trois élèves sur cinq possèdent un vélo.

Quel pourcentage des élèves du collège possèdent un vélo ?

Solution

Cette situation revient à déterminer le nombre x dans le tableau de proportionnalité suivant :

Le nouveau prix est donc de :

Une enquête a révélée que sur 2000 personnes interrogées, 80 avaient les yeux bleus.

1- En supposant que la proportion des yeux bleus est la même dans toute la population, quel est le pourcentage de personnes ayant les yeux bleus ?

2- Dans un village de 3500 habitants, combien de personnes auraient les yeux bleus ?

Solution :

1. Sur 2000 personnes, 80 ont les yeux bleus. Cela se traduit par la fraction .
   On veut transformer cette fraction en une fraction ayant pour dénominateur 100.
   

4 % des personnes ont les yeux bleus, ce qui signifie que si on interroge 100 personnes, 4 vont avoir les yeux bleus

Remarque : le calcul 80 ÷ 2000 donne 0,04 comme résultat .

0,04 signifie « 4 centième », c’est-à-dire 4 % !

2- 1^ère méthode :
2^ième méthode : prendre 4% de quelque chose, c’est multiplier ce quelque chose par 0,04

Sur 3500 personnes,140 personnes auront les yeux bleus.

Ce qu’il faut retenir : prendre un pourcentage, c’est faire une multiplication.

Prendre p % , c’est multiplier par

Remarque : 12 % est égal à 0,12

3 % est égal à 0,03

5,1 % est égal à 0,051

Augmentation d’une somme

Exemple : le prix d’une chemise a augmentée de 25 % . Avant augmentation, la chemise coûtait 30 €.

Quel est son nouveau prix ?

Le nouveau prix est de :

Remarque : 25 % = 0,25             est donc égal à : 1,25

Le nouveau prix de la chemise est de €

Diminution d’une somme

Exemple : Le prix d’une chemise est diminué de 25 %. Avant diminution, le prix était de 37,50 €.

Quel est son nouveau prix ?

25 % = 0,25            

Le nouveau prix de la chemise est de :

Remarque : on ne retrouve pas le prix de 30 € !

2- Echelles

Lorsqu’on fait un plan, une carte, on utilise une échelle.

Les dimensions sur le plan sont alors proportionnelles aux dimensions dans la réalité.

L’échelle du plan est le coefficient de proportionnalité qui permet d’obtenir les dimensions sur le plan en fonction des dimensions réelles.

Formule :

Attention : pour utiliser cette formule, il est impératif que toutes les dimensions soient exprimées dans la même unité !

3- Mouvement uniforme

a) Unités de temps

On peut exprimer une durée à l’aide de nombres décimaux ou de fractions de durées :

Exemple :

Exprime en heure décimale les durées suivantes : 15 min et 90 min.

b) Vitesse

Lorsqu’on se déplace à allure constante, on parle de mouvement uniforme.

Dans ce cas, la distance parcourue est proportionnelle à la durée.

Lorsqu’on parle de la vitesse moyenne d’un objet animé d’un mouvement uniforme, on considère que la distance parcourue est proportionnelle au temps.

Remarque : La vitesse est un coefficient de proportionnalité !

La vitesse s'exprime par la formule :

Attention : pour utiliser cette formule, il est impératif que le temps soit exprimé en écriture décimale !

Exemple :

Un avion vole à allure constante et a parcouru 780 km en une heure. Quelle distance parcourra-t-il en 2 h ?

En 1 h 30 min ?

Solution

Puisque l’avion vole à allure constante, le mouvement est uniforme. La distance parcourue est donc proportionnelle à la durée du vol.

En 2 h, il couvrira ainsi une distance deux fois plus grande, égale à : 

c) Conversions d’unités

Dans le système d'unité usuel (international), les convertions d'unités sont des questions de proportionnalité.

IV- Graphique

Le graphique d'une situationde proportionnalité est forcément une droite qui passe par l'origine du repère, c'est-à-dire par le point de coordonnées (0 ; 0).

Tout autre graphique ne peut pas correspondre à une situation de proportionnalité !

Exemple :	Un nouveau cinéma vient de s'installer dans une grande ville. Il propose deux tarifs à ses clients. Tarif A : 5 € par séance Tarif B : un abonnement de 21 € annuel et 2 € par séance.

Le tarif A correspond à une situation de proportionnalité, ce qui n'est pas le cas du tarif B !
Remarque : pour 7 séances, les deux tarifs sont identiques (point d'intersection des deux courbes), si on va à moins de 7 séances, le tarif A est moins cher, si on va à plus de 7 séances, le tarif B est moins cher.

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